Probabilité

Pour mon TIPE, je risque d'être interrogé sur des probas et donc j'aimerais savoir ce que les HEC font sur la question. En particulier pour la définition d'une probas. Mon père m'a passé un bouquin de cours entier sur le sujet donc c'est surtout à titre documentaire mais un cours d'HEC m'interresserais.

Là, je te conseille d'aller tout simplement voir des bouquins de hec au cdi, genre j'ai pas de cours sur ordi.

On n'a pas vraiment de définition de proba. Seulement des définition de var, de densités de proba, de lois et de fonction de répartition.

La définition théorique d'une VAR ne sert à rien et est très abstraite (X est une VAR lorsque X^-1(I) inclus dans R, ou I est un intervalle quelconque, sinon, autre définition, c'est l'ensemble des éléments possibles tels que X(élément) appartient à la tribu).

Quant aux densités, lois et fonctions de répartition, je pense que tu sais déjà ce que c'est.

Ce qui m'interrese pour pouvoir répondre aux examinateurs des ENS, c'est justement les définitions inutiles.

Pour la définition d'une probas, c'est juste une fonction d'une tribu sur un ensemble E dans R vérifiant:

P(E)=1
P(A+B)=P(A)+P(B) (A+B est l'union de A et B disjoints)
Si An est une suite d'ensembles enboités tendant vers l'ensemble vide, alors P(An)-> 0

C'est exactement ça... Retrouvé quelque part dans mon cours de 1ère année... Complètement inutile... Complètement fous ces gens à l'ENS.

Mais non ils ne sont pas fous, c'est super important d'avoir de bonne définitions. Et puis les probas ça va avec la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue, deux choses tout à fait indispensables : sans ça tu ne peut pas intégrer la fonction caractéristique des rationnels.

Oh mon dieu, comme c'est grave... je n'en domirai pas de la nuit...

Ne t'en fait pas, avec la théorie de Lebesgue (ancien élève de llg d'ailleurs) elle est intégrable et naturellement d'intégrale nulle.

C'est quoi la fonction caractéristique des rationnels?

La fonction qui à x associe 1 si x est rationnel et 0 si x est irrationnel. Ells est assez moche puisqu'elle est discontinue en tout point. Je te rassure on fait pire, je crois qu'on peut construire des fonctions telle que l'image de tout intervalle soit égale à tout R.

J'ai pas bien compris pourquoi c'est discontinue en tout point. Tu veux dire qu'il n'y a jamais deux rationnels qui se suivent?

Tout bien réfléchi, c'est vrai que c'est pas impossible, les nombres peuvent être tellement moches... Mais visuellement, j'ai du mal quand même.

Evidemment il n'y a jamais deux rationnels qui se suivent, il y a déja une infinité de rationnels entre deux rationnels.

Une infinité d'irrationnels tu veux dire?

Concrètement, ça se dessine pas la courbe d'une telle fonction, rassure-moi...

La courbe d'une telle fonction ne se dessine effectivement pas. Sinon il y a bien une infinité de rationnels entre 2 rationnels et une plus grande infinité d'irrationnels en plus.

Ok donc.

T'en as d'autres de fonctions de ce type?

En encore moins déssinable, il y a la fonction qui à un irrationnel associe 0 et à un rationnel p/q associe q. celle là n'est bornée sur aucun intervalle non trivial.

Plus délicate à construire (il faut l'axiome du choix pour le faire comme moi), il y a des fonctions telle que tout intervalle ait la même image :
Soit r la relation : x r y ssi x-y est rationnel. C'est une relation d'équivalence, on choisie un élément dans chaque classe d'équivalence. On peut alors définir la fonction qui à x associe l'élément précédement choisi dans la classe de x. Chaque classe étant identique à Q translaté, elles sont toutes dense dans R donc l'image de tout intervalle est égale à l'ensemble des éléments choisis.

On peut alors en déduire (je pense que ça marche) une fonction telle que l'image de tout intervalle soit R tout entier puisque l'ensemble des classes précédent et R doivent être en bijection l'un avec l'autre.

J'ai rien compris! Bon, je retourne à mes diagonalisations moi...